Отношение порядка на решётке

Пусть $(A, \lor, \land)$ — решетка (алгебра). Определим на $A$ бинарное отношение $\preccurlyeq$ условием: $$a \preccurlyeq b \iff a \land b = a$$ Тогда $\preccurlyeq$ является отношением порядка.

**Рефлексивность**: По свойству идемпотентности, $a \land a = a$. Из определения, $a \land a = a \implies a \preccurlyeq a$. **Антисимметричность**: Пусть $a \preccurlyeq b$ и $b \preccurlyeq a$. По определению, это означает $a \land b = a$ и $b \land a = b$. По свойству коммутативности, $a \land b = b \land a$. Следовательно, $a = b$. **Транзитивность**: Пусть $a \preccurlyeq b$ и $b \preccurlyeq c$. По определению, это означает $a \land b = a$ и $b \land c = b$. Рассмотрим $a \land c$: $$a \land c = (a \land b) \land c \quad \text{(так как } a \land b = a \text{)}$$ $$a \land c = a \land (b \land c) \quad \text{(по ассоциативности)}$$ $$a \land c = a \land b \quad \text{(так как } b \land c = b \text{)}$$ $$a \land c = a \quad \text{(так как } a \land b = a \text{)}$$ Следовательно, $a \preccurlyeq c$. $\square$

То же самое отношение $\preccurlyeq$ можно определить условием $a \lor b = b$.

Докажем эквивалентность двух определений: Пусть $a \preccurlyeq b$ по первому определению, т.е. $a \land b = a$. Тогда $a \lor b = (a \land b) \lor b$. По свойству поглощения для решеток, $(a \land b) \lor b = b$. Следовательно, $a \lor b = b$. Пусть $a \lor b = b$. Тогда $a \land b = a \land (a \lor b)$. По свойству поглощения для решеток, $a \land (a \lor b) = a$. Следовательно, $a \land b = a$, что соответствует первому определению $a \preccurlyeq b$. $\square$